Aplikasi Integral: Menentukan Volume dengan Metode Cakram
Aplikasi integral tertentu sering
kita gunakan untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan. Salah satu
penggunaan integral adalah dalam menentukan volume benda ruang yang memiliki
dua sisi yang sama, apabila kita memotongnya menurut sembarang garis yang
melalui pusat bidang alasnya. Bangun ruang seperti ini sering disebut benda
putar. Benda putar tersebut sering dijumpai di mesin ataupun pabrik.
Beberapa contohnya adalah corong minyak, pil, botol, piston, dan as sepeda,
seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.
Apabila suatu daerah pada bidang
diputar menurut garis tertentu, maka akan menghasilkan benda ruang, dan garis
tersebut disebut sebagai pusat putaran. Benda ruang hasil putaran yang paling
sederhana adalah tabung tegak atau bisa kita sebut sebagai cakram, yang
dapat dibentuk dengan memutar persegi panjang menurut suatu garis yang berimpit
dengan salah satu sisinya, seperti yang terlihat pada gambar berikut.
Sehingga, volume dari cakram
tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
Dengan R dan t secara
berturut-turut adalah jari-jari dan tinggi cakram.
Untuk melihat bagaimana penggunaan
volume cakram dalam menentukan volume benda putar yang lebih umum, perhatikan
gambar berikut.
Untuk menentukan volume benda putar,
perhatikan persegi panjang yang terletak pada bidang datar. Apabila persegi
panjang tersebut diputar dengan pusat pada suatu garis, akan terbentuk salah
satu cakram dalam benda putar yang volumenya,
Sehingga volume benda putar tersebut
dapat didekati dengan menggunakan n buah cakram yang memiliki tinggi Δx
dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,
Pendekatan volume benda putar
tersebut akan semakin baik apabila banyak cakramnya mendekati tak hingga, n
→ ∞ atau ||Δ|| → 0. Sehingga, kita dapat mendefinisikan volume benda putar sebagai
berikut.
Secara sistematis, menentukan volume
benda putar dengan metode cakram dapat dilihat seperti berikut.
Rumus yang serupa juga dapat
diturunkan apabila sumbu putarannya vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah
vertikal (sumbu-y), maka rumus volume benda putarnya adalah sebagai
berikut.
Untuk membedakan antara volume benda
putar dengan pusat di garis horizontal ataupun vertikal, perhatikan gambar
berikut.
Aplikasi paling sederhana dari
metode cakram adalah menentukan volume benda putar hasil putaran daerah yang
dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x. Jika sumbu putarannya
adalah sumbu-x, maka dengan mudah dapat ditentukan bahwa R(x)
sama dengan f(x). Perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Metode Cakram
Tentukan volume bangun ruang yang
dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh grafik,
Dan sumbu-x (0 ≤ x ≤
π) dengan pusat putaran sumbu-x.
Pembahasan Dari persegi panjang biru di atas, dengan mudah kita dapat
memperoleh jari-jari dari bangun ruang adalah,
Sehingga volume dari benda putar
yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut.
sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2013/08/03/aplikasi-integral-menentukan-volume-dengan-metode-cakram/
